Question

【題目】已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，在上，且．

（1）求的值；

（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與交于，（異于）兩點(diǎn)，證明：直線與直線的斜率之積為常數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式，即可求出的值；

（2）由（1）求出，先考慮斜率不存在時(shí)，求出直線與直線的斜率之積，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)系，再將直線與直線的斜率之積用縱坐標(biāo)表示，化簡即可證明結(jié)論.

（1）由拋物線定義知．

（2）由（1），得，．

當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，不妨設(shè)，，

則直線的斜率，直線的斜率，

所以．

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)，，

設(shè)直線的斜率為（顯然且），

則直線的方程為．

聯(lián)立，消去，得，

，

所以，，

則直線的斜率，

同理直線的斜率．

∴

，

綜上，直線與直線的斜率之積為．