Question

【題目】已知函數(shù)，，且與的圖象有一條斜率為1的公切線(xiàn)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（1）求；

（2）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求出函數(shù)圖象上斜率為1的切線(xiàn)，再根據(jù)切線(xiàn)方程為同一方程即可求出；

（2）根據(jù)第一問(wèn)結(jié)果可得，，求導(dǎo)，換元，令，通過(guò)二次函數(shù)知識(shí)判斷的符號(hào)，得其單調(diào)性，求出極值，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求出．

（1）令，可得，.

在處的切線(xiàn)方程為，即.

令，，，

在處的切線(xiàn)方程為，即，

故，

可得.

（2）證明：由（1）可得，

，

令，則，，

當(dāng)時(shí)，有兩根，且，

由，得，

在上，，在上，，

此時(shí)，.

又時(shí)，，時(shí)，.

故在和上，各有1個(gè)零點(diǎn).

所以時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).