Question

 

已知函數(shù)f （x）=ax³+bx²－3x在x=±1處取得極值．

   （Ⅰ）求函數(shù)f （x）的解析式；

　 （Ⅱ）求證：對于區(qū)間[－3，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，對于任意一個正實數(shù)a都有|f （x₁）－f （x₂）|≤；

   （Ⅲ）若過點A（1，m）（m≠－2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）f′（x）=3ax²+2bx－3，

依題意，f′（1）=f′（－1）=0，

即…………………………………………1分

解得a=1，b=0．

∴f （x）=xx．……………………………………………………3分

   （II）∵f（x）=xx,∴f′（x）=3x=3（x+1）（x－1），

利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）在區(qū)間[－3，2]上的最大值和最小值分別為：

f_max（x）=f（－1）=f（2）=2，

f_min（x）=f（-3）=－18………………………………4分

∵對于區(qū)間[－3，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，

都有|f（x₁）－f（x₂）|≤|f_max（x） －f_min（x）|

|f（x₁）－f（x₂）|≤|f_max（x）－f_min（x）|=2－（－18）=20……………………6分

由條件可得，，

當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即恒成立，

∴對于任意一個正實數(shù)a都有|f （x₁）－f （x₂）|≤．………8分

   （III）f′（x）=3x=3（x+1）（x－1），

∵曲線方程為y=xx，∴點A（1，m）不在曲線上．

設(shè)切點為M（x₀，y₀），則點M的坐標(biāo)滿足

因，

故切線的斜率為，

整理得．

∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于x₀方程=0有三個實根．……………………10分

設(shè)g（x­₀）= ，

則g′（x₀）=6，

由g′（x₀）=0，得x₀=0或x₀­=1．

∴g（x₀）在（－∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減．

∴函數(shù)g（x₀）= 的極值點為x₀=0，x₀=1………………12分

∴關(guān)于x₀方程=0有三個實根的充要條件是

，解得－3<m<－2．

故所求的實數(shù)a的取值范圍是－3<m<－2．……………………15分