Question

9．設(shè)n∈N^*，圓C_n：x²+y²=R${\;}_{n}^{2}$（R_n＞0）與y軸正半軸的交點(diǎn)為M，與曲線y=$\sqrt{x}$的交點(diǎn)為N（x_n，y_n），直線MN與x軸的交點(diǎn)為A（a_n，0）．
（Ⅰ）用x_n表示R_n和a_n
（Ⅱ）若數(shù)列{x_n}滿足（x_n+1）²=（x_n-l+1）（x_n+l+1）（n≥2），x_l=3，x₂=15．
（i）求常數(shù)p的值，使得數(shù)列{a_n+1-pa_n）成等比數(shù)列；
（ii）比較a_n與2×3ⁿ的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)適合曲線方程可得${{R}_{n}}^{2}={{x}_{n}}^{2}+{{y}_{n}}^{2}={{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}$，再由點(diǎn)N（x_n，y_n）在直線MN上，得：$\frac{{x}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{\sqrt{{x}_{n}}}{\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}}=1$．求解可得${a}_{n}=1+{x}_{n}+\sqrt{1+{x}_{n}}$；
（Ⅱ）由（x_n+1）²=（x_n-l+1）（x_n+l+1），知{x_n+1}為等比數(shù)列，求出$1+{x}_{n}=4•{4}^{n-1}={4}^{n}$，可得${a}_{n}={4}^{n}+\sqrt{{4}^{n}}={4}^{n}+{2}^{n}$．
（i）由${a}_{n+1}-p•{a}_{n}=…=（4-p）•{4}^{n}+（2-p）•{2}^{n}$，${a}_{n+2}-p•{a}_{n+1}=…=（16-4p）+（4-2p）•{2}^{n}$，結(jié)合數(shù)列{a_n+1-pa_n）成等比數(shù)列求得p值，說(shuō)明當(dāng)p=2時(shí)，數(shù)列{a_n+1-pa_n）成公比為4的等比數(shù)列．當(dāng)p=4時(shí)，數(shù)列
{a_n+1-pa_n）成公比為2的等比數(shù)列；
（ii）由（i）知，${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}$，當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=6=3•{2}^{1}$；當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}＞2•{3}^{n}$．構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），求導(dǎo)得f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0）是增函數(shù)，得到4ⁿ-3ⁿ＞3ⁿ-2ⁿ．即${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}＞2•{3}^{n}$．

解答 解：（Ⅰ）y=$\sqrt{x}$與圓交于點(diǎn)N，則${{R}_{n}}^{2}={{x}_{n}}^{2}+{{y}_{n}}^{2}={{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}$，即${R}_{n}=\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}$，由題意知，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，R_n），
從而直線MN的方程為$\frac{x}{{a}_{n}}+\frac{y}{{R}_{n}}=1$，由點(diǎn)N（x_n，y_n）在直線MN上，得$\frac{{x}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{{y}_{n}}{{R}_{n}}=1$．
將${R}_{n}=\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}$，${y}_{n}=\sqrt{{x}_{n}}$代入得：$\frac{{x}_{n}}{{a}_{n}}+\frac{\sqrt{{x}_{n}}}{\sqrt{{{x}_{n}}^{2}+{x}_{n}}}=1$．
∴${a}_{n}=\frac{{x}_{n}\sqrt{{x}_{n}+1}}{\sqrt{{x}_{n}+1}-1}=1+{x}_{n}+\sqrt{1+{x}_{n}}$，即${a}_{n}=1+{x}_{n}+\sqrt{1+{x}_{n}}$；
（Ⅱ）由（x_n+1）²=（x_n-l+1）（x_n+l+1），知{x_n+1}為等比數(shù)列，
由1+x₁=4，1+x₂=16知，公比為4，故$1+{x}_{n}=4•{4}^{n-1}={4}^{n}$，
∴${a}_{n}={4}^{n}+\sqrt{{4}^{n}}={4}^{n}+{2}^{n}$．
（i）${a}_{n+1}-p•{a}_{n}=…=（4-p）•{4}^{n}+（2-p）•{2}^{n}$，
${a}_{n+2}-p•{a}_{n+1}=…=（16-4p）+（4-2p）•{2}^{n}$，
令a_n+2-p•a_n+1=q（a_n+1-p•a_n），得
（16-4p）•4ⁿ+（4-2p）•2ⁿ=q（4-p）•4ⁿ+q（2-p）•2ⁿ，
由等式（16-4p）•2ⁿ+（4-2p）=q（4-p）•2ⁿ+q（2-p）對(duì)于任意n∈N^*成立得：
$\left\{\begin{array}{l}{16-4p=q（4-p）}\\{4-2p=q（2-p）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{q=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{p=4}\\{q=2}\end{array}\right.$．
故當(dāng)p=2時(shí)，數(shù)列{a_n+1-pa_n）成公比為4的等比數(shù)列．
當(dāng)p=4時(shí)，數(shù)列{a_n+1-pa_n）成公比為2的等比數(shù)列；
（ii）由（i）知，${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}$，
當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=6=3•{2}^{1}$；當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}＞2•{3}^{n}$．
事實(shí)上，令f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0），則f′（x）=n[（x+1）^n-1-x^n-1]＞0．
故f（x）=（x+1）ⁿ-xⁿ（x＞0）是增函數(shù)，
∴f（3）＞f（2），即4ⁿ-3ⁿ＞3ⁿ-2ⁿ．
即${a}_{n}={4}^{n}+{2}^{n}＞2•{3}^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用數(shù)列遞推式構(gòu)造等比數(shù)列，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，屬有一定難度題目．