Question

已知橢圓的離心率為，F(xiàn)為橢圓的右焦點，M，N兩點在橢圓C上，且，定點A（-4，0）．
（1）若λ=1時，有，求橢圓C的方程；
（2）在條件（1）所確定的橢圓C下，當(dāng)動直線MN斜率為k，且設(shè)s=1+3k²時，試求關(guān)于S的函數(shù)表達式f（s）的最大值，以及此時M，N兩點所在的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求橢圓C的方程，先根據(jù)條件λ=1且求出M點的坐標，再根據(jù)條件求出c的值．
最后根據(jù)離心率為分別求出a與b的值．
（2）欲求關(guān)于S的函數(shù)表達式f（s）的最大值，先聯(lián)系直線方程與橢圓的方程求的表達式，根據(jù)函數(shù)最值的相關(guān)知識求出最大值，最后求得直線MN的方程．
解答：解：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0），
則，
又λ=1，有．
故，
又，
所以x₁²=x₂²，結(jié)合x₁+x₂=2c≠0，可知x₁=x₂=c．
所以，
從而，將代入得c=2．
故橢圓C的方程為．
（2）．
設(shè)直線MN的直線方程為y=k（x-2）（k≠0），聯(lián)立，得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0，
所以，
記，
則，
所以，當(dāng)S=4即k=±1時取等號．
所以，有最大值，最大值為，此時直線MN的方程為x±y-2=0．
點評：本題考查平面向量的相關(guān)知識以及直線與圓錐曲線的知識．