Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x+ ﹣4，g（x）=kx+3．
（1）當(dāng)a=k=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增與單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)a∈[3，4]時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，m]上的最大值為f（m），試求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）對(duì)任意x1 ， x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=k=1時(shí)，y=f（x）+g（x）=2x+ ﹣1，

y′=2﹣ = ，

令y′＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令y′＜0，解得：﹣1＜x＜1且x≠0，

故函數(shù)在（﹣∞，﹣1）遞增，在（﹣1，0），（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增

（2）解：∵a∈[3，4]，

∴y=f（x）在（1， ）上遞減，在（ ，+∞）上遞增，

又∵f（x）在區(qū)間[1，m]上的最大值為f（m），

∴f（m）≥f（1），解得（m﹣1）（m﹣a）≥0，

∴m≥amax，即m≥4

（3）解：∵|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2），

∴|f（x1）|﹣g（x1）＜|f（x2）|﹣g（x2）恒成立，

令F（x）=|f（x）|﹣g（x），則F（x）在[2，4]上遞增．

對(duì)于F（x）= ，

（i）當(dāng)x∈[2，2+ ]時(shí)，F(xiàn)（x）=（﹣1﹣k）x﹣ +1，

①當(dāng)k=﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）=﹣ +1在[2，2+ ]上遞增，所以k=﹣1符合；

②當(dāng)k＜﹣1時(shí)，F(xiàn)（x）=（﹣1﹣k）x﹣ +1在[2，2+ ]上遞增，所以k＜﹣1符合；

③當(dāng)k＞﹣1時(shí)，只需 ≥2+ ，即 ≥（ + ）max=2+ ，

所以﹣1＜k≤6﹣4 ，從而k≤6﹣4 ；

（ii）當(dāng)x∈（2+ ，4]時(shí)，F(xiàn)（x）=（1﹣k）x+ ﹣7，

①當(dāng)k=1時(shí)，F(xiàn)（x）= ﹣7在（2+ ，4]上遞減，所以k=1不符合；

②當(dāng)k＞1時(shí)，F(xiàn)（x）=（1﹣k）x+ ﹣7在（2+ ，4]上遞減，所以k＞1不符合；

③當(dāng)k＜1時(shí)，只需 ≤2+ ，即 ≤（ + ）min=1+ ，

所以k＜2 ﹣2，

綜上可知：k≤6﹣4

【解析】（1）將a=k=1代入函數(shù)，求出函數(shù)y=f（x）+g（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）解不等式f（m）≥f（1）即可；（3）不等式等價(jià)于F（x）=|f（x）|﹣g（x）在[2，4]上遞增，顯然F（x）為分段函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性對(duì)每一段函數(shù)分析討論即可．
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．