【題目】已知函數(shù)，，其中.

（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：對任意的，在區(qū)間內(nèi)均存在零點.

【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，；的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由，令，解得或，解出不等式和，故而可得單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知，當(dāng)時，在內(nèi)遞減，內(nèi)單調(diào)遞增，進而分類討論：當(dāng)，即時，在遞減，在遞增；當(dāng)，即時，在內(nèi)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．利用零點存在定理可證對任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點.

試題解析：（1），令，解得或，

∵，∴，

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

＋

－

＋

↗

↘

↗

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，；的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）證明：由（1）可知，在內(nèi)的單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，以下分兩種情況討論：

（ⅰ）當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，

，.

所以對任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點.

（2）當(dāng)，即時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，若，，.

（也可由二次函數(shù)知識證明在上恒大于0）

所以在內(nèi)存在零點.

若，，

（也可以利用求導(dǎo)的方法證明在上恒小于0）所以在內(nèi)存在零點.

所以，對任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點.

綜上，對任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點，原不等式成立.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值是M，最小值是m，且M=2m，則實數(shù)a=（ ）
A.
B.2
C.
且2
D.
或2

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B.[﹣ ， ]
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（3）當(dāng)a∈[1，2]時，若不等式|f（x1）|﹣|f（x2）|＜g（x1）﹣g（x2）對任意x1 ， x2∈[2，4]（x1＜x2）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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