Question

18．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過A（-1，$\frac{3}{2}$）、B（0，$\sqrt{3}$）兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B且不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于另一點M，交x軸于點P，點M關于x軸的對稱點為N，直線BN交x軸于點Q．求|OP|+|OQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將A、B兩點代入橢圓方程，求出a、b，從而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l的方程為$y=kx+\sqrt{3}\$（k≠0），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），聯(lián)立直線l與橢圓方程，由韋達定理可得，從而M（$-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），N（$-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，-$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），從而直線BN的方程為：$y=\frac{3}{4k}x+\sqrt{3}$，則Q（$-\frac{4\sqrt{3}k}{3}$，0），又因為P（$-\frac{\sqrt{3}}{k}$，0），結合不等式可得|OP|+|OQ|=$\frac{4\sqrt{3}|k|}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{|k|}$≥4．

解答 解：（Ⅰ）將A（-1，$\frac{3}{2}$）、B（0，$\sqrt{3}$）兩點代入橢圓方程，
得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{\frac{3}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由于直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為$y=kx+\sqrt{3}\$（k≠0），M（x₀，y₀），N（x₀，-y₀），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，化簡得$（3+4{k}^{2}）{x}^{2}+8\sqrt{3}kx=0$，
所以${x}_{0}=-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
從而M（$-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），N（$-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，-$\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
所以k_BN=$\frac{\sqrt{3}+\frac{3\sqrt{3}-4\sqrt{3}{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{3}{4k}$，
從而直線BN的方程為：$y=\frac{3}{4k}x+\sqrt{3}$，則Q（$-\frac{4\sqrt{3}k}{3}$，0），
又因為P（$-\frac{\sqrt{3}}{k}$，0），所以|OP|+|OQ|=$\frac{4\sqrt{3}|k|}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{|k|}$≥4，
當且僅當$\frac{4\sqrt{3}|k|}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{|k|}$，即|k|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時取等號，
所以|OP|+|OQ|的最小值為4．

點評 本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意積累解題方法，聯(lián)立方程組后利用韋達定理是解題的關鍵．