Question

3．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{a}{x}$-4，g（x）=kx+3
（Ⅰ）當a∈[3，4]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，m]上的最大值為f（m），試求實數(shù)m的取值范圍
（Ⅱ）當a∈[1，2]時，若不等式|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂），對任意x₁，x₂∈[2，4]（x₁＜x₂）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解不等式f（m）≥f（1）即可；
（Ⅱ）不等式等價于F（x）=|f（x）|-g（x）在[2，4]上遞增，顯然F（x）為分段函數(shù)，結合單調性對每一段函數(shù)分析討論即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a∈[3，4]，∴y=f（x）在（1，$\sqrt{a}$）上遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）上遞增，
又∵f（x）在區(qū)間[1，m]上的最大值為f（m），
∴f（m）≥f（1），解得（m-1）（m-a）≥0，
∴m≥a_max，即m≥4；
（Ⅱ）∵|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂），
∴|f（x₁）|-g（x₁）＜|f（x₂）|-g（x₂）恒成立，
令F（x）=|f（x）|-g（x），則F（x）在[2，4]上遞增．
對于F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1-k）x-\frac{a}{x}+1}&{x∈[2，2+\sqrt{4-a}]}\\{（1-k）x+\frac{a}{x}-7}&{x∈（2+\sqrt{4-a}，4]}\end{array}\right.$，
（1）當$x∈[2，2+\sqrt{4-a}]$時，F(xiàn)（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1，
①當k=-1時，F(xiàn)（x）=-$\frac{a}{x}$+1在$[2，2+\sqrt{4-a}]$上遞增，所以k=-1符合；
②當k＜-1時，F(xiàn)（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1在$[2，2+\sqrt{4-a}]$上遞增，所以k＜-1符合；
③當k＞-1時，只需$\sqrt{\frac{a}{k+1}}≥2+\sqrt{4-a}$，即$\sqrt{\frac{1}{k+1}}≥（\frac{2}{\sqrt{a}}+\sqrt{\frac{4}{a}-1}）_{max}$=$2+\sqrt{3}$，
所以$-1＜k≤6-4\sqrt{3}$，從而$k≤6-4\sqrt{3}$；
（2）當x∈$（2+\sqrt{4-a}，4]$時，F(xiàn)（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}-7$，
①當k=1時，F(xiàn)（x）=$\frac{a}{x}-7$在$（2+\sqrt{4-a}，4]$上遞減，所以k=1不符合；
②當k＞1時，F(xiàn)（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}-7$在$（2+\sqrt{4-a}，4]$上遞減，所以k＞1不符合；
③當k＜1時，只需$\sqrt{\frac{a}{1-k}}≤2+\sqrt{4-a}$，即$\sqrt{\frac{1}{1-k}}≤（\frac{2}{\sqrt{a}}+{\sqrt{\frac{4}{a}-1）}}_{min}$=1+$\sqrt{2}$，
所以$k＜2\sqrt{2}-2$，
綜上可知：$k≤6-4\sqrt{3}$．

點評 本題利用函數(shù)的單調性解決與最值、不等式的相關問題，考查分析、計算能力以及分類討論的思想，屬于難題．