在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C:2x2y2=1.

(1)設(shè)FC的左焦點(diǎn),MC右支上一點(diǎn).若|MF|=2,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)過(guò)C的左頂點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線,求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積;

(3)設(shè)斜率為k(|k|<)的直線lCP,Q兩點(diǎn).若l與圓x2y2=1相切,求證:OPOQ.


 (1)解析:雙曲線Cy2=1,左焦點(diǎn)F,設(shè)M(xy),則|MF|22y22,由點(diǎn)M是右支上一點(diǎn)知,x,所以|MF|=x=2,得x,所以M.

(2)解析:左頂點(diǎn)A,漸近線方程:y=±x.

過(guò)點(diǎn)A與漸近線yx平行的直線方程為y,即yx+1.

解方程組

所以所求平行四邊形的面積為S=|OA||y|=.

(3)證明:設(shè)直線PQ的方程是ykxb,因直線PQ與已知圓相切,故=1,即b2k2+1.(*)

得(2-k2)x2-2kbxb2-1=0.

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則

y1y2=(kx1b)(kx2b),所以

·x1x2y1y2=(1+k2)x1x2kb(x1x2)+b2

由(*)知,·=0,所以OPOQ.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:


設(shè)實(shí)數(shù)xy滿(mǎn)足約束條件z=2x+3y的最小值為(  )

A.26        B.24         C.16         D.14

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已知二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),且最小值是,函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

(1)求的解析式;

(2)若在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱(chēng)軸垂直,lC交于AB兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為(  )

A.        B.       C.2       D.3

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若圓(x-2)2y2=2與雙曲線=1(a>0,b>0)的漸近線相切,則雙曲線的離心率是____________.

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已知p:直線l1xy-1=0與直線l2xay-2=0平行,qa=-1,則pq的(  )

A.充要條件            B.充分不必要條件

C.必要不充分條件      D.既不充分也不必要條件

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已知直線l1的傾斜角α1=40°,直線l1l2的交點(diǎn)為A(2,1),把直線l2繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線l1重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角為70°,則直線l2的方程是________________.

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已知A、B為橢圓C=1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且∠APB的最大值是,則實(shí)數(shù)m的值是(  )

A.          B.         C.        D.

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在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(x,y,z)滿(mǎn)足方程(x+2)2+(y-1)2+(z-3)2=3,則點(diǎn)P的軌跡是(  )

A.直線      B.圓      C.球面      D.線段

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