在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線C:2x2-y2=1.
(1)設(shè)F是C的左焦點(diǎn),M是C右支上一點(diǎn).若|MF|=2,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)過(guò)C的左頂點(diǎn)作C的兩條漸近線的平行線,求這兩組平行線圍成的平行四邊形的面積;
(3)設(shè)斜率為k(|k|<)的直線l交C于P,Q兩點(diǎn).若l與圓x2+y2=1相切,求證:OP⊥OQ.
(1)解析:雙曲線C:-y2=1,左焦點(diǎn)F,設(shè)M(x,y),則|MF|2=2+y2=2,由點(diǎn)M是右支上一點(diǎn)知,x≥,所以|MF|=x+=2,得x=,所以M.
(2)解析:左頂點(diǎn)A,漸近線方程:y=±x.
過(guò)點(diǎn)A與漸近線y=x平行的直線方程為y=,即y=x+1.
解方程組
所以所求平行四邊形的面積為S=|OA||y|=.
(3)證明:設(shè)直線PQ的方程是y=kx+b,因直線PQ與已知圓相切,故=1,即b2=k2+1.(*)
由得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則
又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),所以
·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
=+
由(*)知,·=0,所以OP⊥OQ.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)實(shí)數(shù)x和y滿(mǎn)足約束條件則z=2x+3y的最小值為( )
A.26 B.24 C.16 D.14
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和,且最小值是,函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
(1)求和 的解析式;
(2)若在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
設(shè)直線l過(guò)雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱(chēng)軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為( )
A. B. C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知p:直線l1:x-y-1=0與直線l2:x+ay-2=0平行,q:a=-1,則p是q的( )
A.充要條件 B.充分不必要條件
C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知直線l1的傾斜角α1=40°,直線l1與l2的交點(diǎn)為A(2,1),把直線l2繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線l1重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角為70°,則直線l2的方程是________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
已知A、B為橢圓C:+=1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且∠APB的最大值是,則實(shí)數(shù)m的值是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(x,y,z)滿(mǎn)足方程(x+2)2+(y-1)2+(z-3)2=3,則點(diǎn)P的軌跡是( )
A.直線 B.圓 C.球面 D.線段
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