Question

如圖，在多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面ABG，平面ADF，平面CDE都與平面ABCD垂直，且△ABG、△ADF、△CDE都是正三角形．
（1）求證：AC∥FE；
（2）求多面體ABCDEFG的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）分別取AD，CD的中點(diǎn)P，Q，連接FP，EQ，PQ，證明四邊形EQPF是平行四邊形，可得EF∥PQ，利用PQ∥AC，即可證明AC∥FE；
（2）多面體ABCDEFG的體積可由棱柱ABG-DCE與四棱錐F-ADEG的體積相加得到．

解答： （1）證明：如圖，分別取AD，CD的中點(diǎn)P，Q，連接FP，EQ，PQ
因?yàn)椤鰽BG、△ADF、△CDE都是邊長為2的正三角形
所以FP⊥AD，EQ⊥CD，且FP=EQ=

3

又因?yàn)槠矫鍭DF，平面CDE都與平面ABCD垂直
所以FP⊥平面ABCD，EQ⊥平面ABCD
所以FP∥EQ，且FP=EQ
所以四邊形EQPF是平行四邊形
所以EF∥PQ．
因?yàn)镻Q是△ACD的中位線，所以PQ∥AC
所以EF∥AC；
（2）解：多面體ABCDEFG的體積可由棱柱ABG-DCE與四棱錐F-ADEG的體積相加得到，
所以VABCDEFG=VABG-DCE+VF-ADEG=2

3

+

2 3

3

=

8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查線線平行，考查錐體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力．