Question

如圖，三棱錐A-BCD各棱長(zhǎng)都為1，且M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，
（1）求MN和BD所成角；
（2）求該三棱錐體積與它的內(nèi)切球體積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,球的體積和表面積,異面直線及其所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BC中點(diǎn)O，連接MO，NO，則∠MNO（或其補(bǔ)角）為MN和BD所成角；
（2）求出三棱錐的高，可得三棱錐的體積，求出內(nèi)切球的半徑，可得內(nèi)切球的體積，即可求出三棱錐體積與它的內(nèi)切球體積之比．

解答： 解：（1）取BC中點(diǎn)O，連接MO，NO，則
∵N是CD的中點(diǎn)，
∴ON∥BD，
∴∠MNO（或其補(bǔ)角）為MN和BD所成角．
∵M(jìn)O=NO，MO⊥NO，
∴∠MNO=45°，即MN和BD所成角為45°；
（2）作AO′⊥平面ABC，則AO′=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴三棱錐體積為

1

3

×

3

4

×

6

3

=

2

12

．
設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則4×

1

3

×

3

4

r=

2

12

．
∴r=

6

12

，
∴內(nèi)切球體積為

4

3

π×(

6

12

)3=

6

216

π，
∴三棱錐體積與它的內(nèi)切球體積之比為

6 3

π

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線線角，考查錐體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．