Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
（1）方程f（x）+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，求f（x）的解析式．
（2）f（x）的最小值不大于-3a，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）＜2x的解集為（-1，2）可得：-1，2為方程f（x）=2x，即ax²+（b-2）x+c=0的兩個(gè)根，且a＞0；
（1）結(jié)合方程f（x）+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，△=0，可求出a，b，c的值，進(jìn)而得到f（x）的解析式．
（2）f（x）的最小值不大于-3a，可構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）＜2x的解集為（-1，2）．
故-1，2為方程f（x）=2x，即ax²+（b-2）x+c=0的兩個(gè)根，且a＞0，
則

1=- b-2 a -2= c a

，即

b=2-a c=-2a

（1）由方程f（x）+3a=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，故ax²+bx+c+3a=0滿足：△=0，
即b²-4a（c+3a）=0，
即3a²+4a-4=0
解得：a=

2

3

，或a=-2（舍），
故

b= 4 3 c=- 4 3

故f（x）=

2

3

x²+

4

3

x-

4

3

，
（2）由f（x）的最小值不大于-3a，
可得

4ac-b2

4a

≤-3a，
即3a²+4a-4≤0，
解得：-2≤a≤

2

3

，
∴0＜a≤

2

3

，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（0，

2

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)解析式的求解及常用方法，熟練掌握二次不等式，二次方程，二次函數(shù)三者之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．