已知橢圓C:數(shù)學(xué)公式和圓O:x2+y2=b2,若C上存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P引圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,滿足∠APB=60°,則橢圓C的離心率的取值范圍是________.


分析:利用O、P、A、B四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及橢圓離心率的概念,綜合分析即可求得橢圓C的離心率的取值范圍.
解答:解:連接OA,OB,OP,依題意,O、P、A、B四點(diǎn)共圓,
∵∠APB=60°,
∠APO=∠BPO=30°,
在直角三角形OAP中,∠AOP=60°,
∴cos∠AOP==,
∴|OP|==2b,
∴b<|OP|≤a,
∴2b≤a,
∴4b2≤a2,即4(a2-c2)≤a2,
∴3a2≤4c2
,
≤e,又0<e<1,
≤e<1,
∴橢圓C的離心率的取值范圍是[,1).
故答案為:[,1).
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的離心率,考查四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及三角函數(shù)的概念,考查轉(zhuǎn)化與方程思想,屬于難題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•黃埔區(qū)一模)給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(
2
,0)
,其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為
3

(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求
AB
AD
的取值范圍;
(3)在橢圓C的“準(zhǔn)圓”上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),試判斷l(xiāng)1,l2是否垂直?并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
和圓O:x2+y2=b2,若C上存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P引圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,滿足∠APB=60°,則橢圓C的離心率的取值范圍是
[
3
2
,1)
[
3
2
,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2,下頂點(diǎn)為A,直線AF1與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,△ABF2的周長為8,直線AF1被圓O:x2+y2=b2截得的弦長為3.
(I)求橢圓C的方程;
(II)若過點(diǎn)P(1,3)的動(dòng)直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)C,D,在線段CD上取一點(diǎn)Q滿足:
CP
=-λ
PD
,
CQ
QD
,λ≠0且λ≠±1
.求證:點(diǎn)Q總在某定直線上.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級(jí)中學(xué)高三(上)期末數(shù)學(xué)模擬試卷(一)(解析版) 題型:填空題

已知橢圓C:和圓O:x2+y2=b2,若C上存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P引圓O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,滿足∠APB=60°,則橢圓C的離心率的取值范圍是   

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