Question

已知橢圓的兩焦點(diǎn)為，，離心率．
（1）求此橢圓的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|等于橢圓的短軸長(zhǎng)，求m的值；
（3）以此橢圓的上頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請(qǐng)說明有幾個(gè)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求橢圓的方程即是求a，b兩參數(shù)的值，由題設(shè)條件橢圓的兩焦點(diǎn)為，，離心率求出a，b即可得到橢圓的方程．
（2）本題中知道了直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|等于橢圓的短軸長(zhǎng)，故可由弦長(zhǎng)公式建立方程求出參數(shù)m的值．首先要將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式建立方程；
（3）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方程為，將此兩直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，分別解出A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出兩線段AB，BC的長(zhǎng)度，由兩者相等建立方程求參數(shù)k，由解的個(gè)數(shù)判斷三角形的個(gè)數(shù)即可．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），…（1分）
則，，…（2分）∴a=2，b²=a²-c²=1…（3分）
∴所求橢圓方程為．…（4分）
（2）由，消去y，得5x²+8mx+4（m²-1）=0，…（6分）
則△=64m²-80（m²-1）＞0得m²＜5（*）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，，y₁-y₂=x₁-x₂，…（7分）
…（9分）
解得.，滿足（*）
∴．…（10分）
（3）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直
或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方
程為，由，得A，…（11分）
∴，…（12分）
用代替上式中的k，得，
由|AB|=|BC|，得|k|（4+k²）=1+4k²，…（13分）
∵k＜0，
∴解得：k=-1或，
故存在三個(gè)內(nèi)接等腰直角三角形．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的相關(guān)的知識(shí)，如本題中求解的重點(diǎn)是弦長(zhǎng)公式的熟練掌握運(yùn)用，依據(jù)條件進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，分析出建立方程的依據(jù)很關(guān)鍵，如本題第二小題利用弦長(zhǎng)公式建立方程求參數(shù)，第三小題中利用等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩弦長(zhǎng)AB與BC相等，由此關(guān)系得到斜率k所滿足的方程，將求解有幾個(gè)三角形的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程有幾個(gè)根的問題，此類問題中正確轉(zhuǎn)化，充分利用等量關(guān)系是解題的重中之重．本題中轉(zhuǎn)化靈活，運(yùn)算量大，且比較抽象，易出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．