Question

如圖，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=PA=1，AD=3，E是PB的中點．
（1）求證：AE⊥平面PBC；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量，求得•=0，•=0，即可證得結論；
（2）確定平面PCD、平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式可得結論．
解答： （1）證明：根據題意，建立如圖所示的空間直角坐標系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，3，0），P（0，0，1），E（，0，），
∴=（，0，），=（0，1，0），
=（-1，0，1）．
∴•=0，•=0，
所以⊥，⊥．
所以AE⊥BC，AE⊥BP．
因為BC，BP?平面PBC，且BC∩BP=B，
所以AE⊥平面PBC．              
（2）解：設平面PCD的法向量為=（x，y，z），則•=0，•=0．
因為=（-1，2，0），=（0，3，-1），所以．
令x=2，則y=1，z=3．
所以=（2，1，3）是平面PCD的一個法向量．              …8分
因為AE⊥平面PBC，所以平面PBC的法向量．
所以cos＜，＞==．
根據圖形可知，二面角B-PC-D的余弦值為-．          …10分
點評：本題考查線面垂直，考查面面接哦，考查利用向量知識解決立體幾何問題，正確用坐標表示向量是關鍵．