Question

已知圓O：x²+y²=m（m＞0）與拋物線y²=ax（a＞0）相交于A（1，1），B（1，-1）兩點．
（1）求圓O的半徑，拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)P是拋物線上不同于A，B的點，且在圓外部，PA的延長線交圓于點C，直線PB與x軸交于點D，點E在直線PB上，且四邊形ODEC為等腰梯形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)A（1，1）在圓O：x²+y²=m上，可求圓O的半徑；A（1，1）代入拋物線y²=ax，可得a=1，從而可求拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)P（m，n），由四邊形ODEC為等腰梯形，可得k_OC=k_PB=

n+1

m-1

，從而可得OC的方程為y=-

n+1

m-1

x，代入圓的方程，求出C的坐標(biāo)，利用P，A，C三點共線，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵A（1，1）在圓O：x²+y²=m上，
∴圓O的半徑為

2

，
A（1，1）代入拋物線y²=ax，可得a=1，
∴拋物線的方程為y²=x，
∴拋物線的焦點坐標(biāo)(

1

4

，0)，準(zhǔn)線方程：x=-

1

4

；
（2）設(shè)P（m，n），則
∵四邊形ODEC為等腰梯形，
∴k_OC=k_PB=

n+1

m-1

，
∴OC的方程為y=-

n+1

m-1

x，
代入x²+y²=2，可得x=-

2 1+( n+1 m-1 )2

，y=

n+1

m-1

•

2 1+( n+1 m-1 )2

，
∵P，A，C三點共線，
∴

n-1

m-1

=

n+1 m-1 • 2 1+( n+1 m-1 )2 -1

- 2 1+( n+1 m-1 )2 -1

，
∵n²=m，
∴可得P的坐標(biāo)為：(8+2

7

，1+

7

)或(8-2

7

，1-

7

)．

點評：本題考查圓的方程、拋物線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于難題．