直線l：y=kx+1與雙曲線C：3x2-y2=1相交于不同的A，B兩點(diǎn)．
（1）求AB的長(zhǎng)度；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出k的值，若不存在，寫(xiě)出理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：綜合題
分析：（1）直接聯(lián)立直線與雙曲線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求得兩交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)的和與積，由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)；
（2）把存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，整理后代入根與系數(shù)關(guān)系求解實(shí)數(shù)k的值．
解答： 解：聯(lián)立方程組
y=kx+1
3x2-y2=1
，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，
∵直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴
3-k2≠0
△=4k2+8(3-k2)＞0
，解得k2＜6且k2≠3，
x1+x2=
2k
3-k2
，x1x2=
-2
3-k2
．
（1）|AB|=
1+k2
|x1-x2|=
1+k2
(x1+x2)2-4x1x2

=
1+k2
(
2k
3-k2
)2-4•
-2
3-k2

=
2
-k4+5k2+6
|k2-3|
 （k2＜6且k2≠3）．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，
則kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
即（k+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴(k+1)•
-2
3-k2
+k•
2k
3-k2
+1=0，
整理得k2=1，符合條件，
∴k=±1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類(lèi)問(wèn)題的最為常用的方法，訓(xùn)練了利用直線斜率的關(guān)系判斷兩直線的垂直關(guān)系，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
3
，右準(zhǔn)線方程為x=
3
3
，
（1）求雙曲線C的方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為直徑的圓上，求m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知圓O：x2+y2=m（m＞0）與拋物線y2=ax（a＞0）相交于A（1，1），B（1，-1）兩點(diǎn)．
（1）求圓O的半徑，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
（2）設(shè)P是拋物線上不同于A，B的點(diǎn)，且在圓外部，PA的延長(zhǎng)線交圓于點(diǎn)C，直線PB與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在直線PB上，且四邊形ODEC為等腰梯形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正數(shù)數(shù)列{an}中，Sn為an的前n項(xiàng)和，若點(diǎn)（an，Sn）在函數(shù)y=
c2-x
c-1
的圖象上，其中c為正常數(shù)，且c≠1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
n2 nan+2
2n+1
，當(dāng)c=2的時(shí)候，是否存在正整數(shù)m、n（1＜m＜n），使得b1，bm，bn成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn=
n，n=2k-1
2an，n=2k
，k∈N*，當(dāng)c=
3
3
時(shí)候，在數(shù)列{cn}中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)cr，cr+1，cr+2，按原來(lái)的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)r的值；若不存在，說(shuō)明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，f（-1）=0，設(shè)g（x）=x2-mx-2m-1，集合A={m|對(duì)任意的x∈[1，2]，g（x）＜0恒成立}，集合B={m|對(duì)任意的x∈[1，2]，f（g（x））＜0恒成立}，求A∩B．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M、N （異于村莊A），要求PM=PN=MN=2（單位：千米）．如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最�。垂S與村莊的距離最遠(yuǎn)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2＞0的解集是R，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線為OB，AC，M，N分別是對(duì)邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且
MG
=2
GN
，現(xiàn)用基組{
OA
，
OB
，
OC
}表示向量
OG
，有
OG
=x
OA
+y
OB
+z
OC
，則x，y，z的值分別為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

線段AB是圓C1：x2+y2=10的一條直徑，離心率為
5
的雙曲線C2以A，B為焦點(diǎn)．若P是圓C1與雙曲線C2的一個(gè)公共點(diǎn)，則|PA|+|PB|的值為（　�。�
A、2
2
B、2
15
C、4
3
D、6
2

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案