Question

10．已知函數(shù)f（x）=cos2x-4acosx-4a+7的最小值為g（a）．
（1）求g（a）的表達式．
（2）求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二倍角的余弦公式化簡函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得f（x）的最小值g（a）的解析式．
（2）結(jié)合函數(shù)g（a）的解析式，分類討論求得g（a）的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cos2x-4acosx-4a+7=2cos²x-4acosx-4a+6=2（cosx-a）²-2a²-4a+6，
當a＜-1時，f（x）的最小值g（a）=2（-1-a）²-2a²-4a+6=8；
當a∈[-1，1]時，f（x）的最小值g（a）=-2a²-4a+6；
當a＞1時，f（x）的最小值g（a）=-8a+8．
（2）由（1）可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{8，a＜-1}\\{-{2a}^{2}-4a+6，-1≤a≤1}\\{-8a+8，a＞1}\end{array}\right.$，
當-1＜a≤1時，g（a）=-2（a+1）²+8∈（0，8]．
當a＞1時，g（a）＜0．
綜上可得，g（a）的最大值為8．

點評 本題主要考查二倍角的余弦公式，余弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．