Question

已知函數(shù)f（x）=（2ax-x²）e^ax，其中a為常數(shù)，且a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意把a代入，先使得函數(shù)解析式具體，再利用函數(shù)在定義域下導函數(shù)隨自變量x的范圍不同其正負符號也不同，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性的判斷，從而零用極值的定義得到函數(shù)的極值；
（II）由題意等價轉化為函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，最終歸結為求函數(shù)在定義域下求最值．
解答：解法一：（Ⅰ）依題意得f（x）=（2x-x²）e^x，所以f'（x）=（2-x²）e^x，
令f′（x）=0，得x=±，
當時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間單調(diào)遞減；
當x∈時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞增；
當x∈時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在此區(qū)間上單調(diào)遞減；
由上可知，x=-是函數(shù)f（x）的極小值點，x=是函數(shù)f（x）的極大值點．

（Ⅱ）f'（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax，
由函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減可知：f′（x）≤0對任意恒成立，
當a=0時，f′（x）=-2x，顯然f'（x）≤0對任意恒成立；
當a＞0時，f′（x）≤0等價于ax²-（2a²-2）x-2a≥0，
因為，不等式ax²-（2a²-2）x-2a≥0等價于x-
令g（x）=x-
則g'（x）=1+，在上顯然有g′（x）＞0恒成立，所以函數(shù)g（x）在單調(diào)遞增，
所以g（x）在上的最小值為
由于f′（x）≤0對任意恒成立等價于x-對任意恒成立，
需且只需g（x）_min≥，即0≥，解得-1≤a≤1，因為a＞0，所以0＜a≤1．
綜合上述，若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為0≤a≤1．
若＞0，即a＞1時，由于函數(shù)h（x）的圖象是連續(xù)不間斷的，
假如h（x）≥0對任意恒成立，則有，
解得-1≤a≤1，與a＞1矛盾，所以h（x）≥0不能對任意恒成立．
綜上所述：若函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為0≤a≤1．
點評：（I）此題考查了利用導函數(shù)求其函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間，還考查了求解一元二次不等式；
（II）此題首先考查了數(shù)學常考的等價轉化的數(shù)學思想，還考查了函數(shù)在定義域下恒成立問題的實質為求函數(shù)在定義域下的最值．