Question

17．函數(shù)f（x）滿足對任意實(shí)數(shù)x，y，f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1．證明：如果對任意x＞0，f（x）＞0，則符合條件的f（x）是唯一的．

Answer 1

分析 利用抽象函數(shù)的先判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用反證法證明唯一性．

解答 解：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴當(dāng)y=x時(shí)，f（2x）=2f（x），
則可以得到f（nx）=nf（x）．
不妨設(shè)f（x）=x，
可用“反證法”證明f（x）是唯一的，即f（x）=x恒成立．
假設(shè)存在f（a）≠a，（f（a）＞a或f（a）＜a），
由于f（x+y）=f（x）+f（y），
而a可以拆成a個(gè)1，即a=1+1+1+…+1（a個(gè)），
∴，f（a）=f（1+1+1+…+1）=f（1）+f（1）+f（1）+…+f（1）=af（1）=a，這與假設(shè)相矛盾．
∴這樣的實(shí)數(shù)a不存在，即符合條件的f（x）是唯一的．

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合題意利用反證法證明是解決本題的關(guān)鍵．難度較大．