Question

（1）求證：

tanα•sinα

tanα-sinα

=

tanα+sinα

tanαsinα

（2）證明

2(cosα-sinα)

1+sinα+cosα

=

cosα

1+sinα

-

sinα

1+cosα

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)恒等式的證明

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用商的關系、二倍角公式分別化簡左邊和右邊，即可證明原結論成立；
（2）利用平方關系、商的關系，二倍角公式分別化簡左邊和右邊，即可證明原結論成立．

解答： 證明：（1）左邊=

sinα cosα •sinα

sinα cosα -sinα

=

sinα

1-cosα

=

2sin α 2 cos α 2

2sin2 α 2

=

cos α 2

sin α 2

，
右邊=

sinα cosα +sinα

sinα cosα •sinα

=

1+cosα

sinα

=

2cos2 α 2

2sin α 2 cos α 2

=

cos α 2

sin α 2

，
所以左邊=右邊，即原結論成立；
（2）左邊=

2(cosα-sinα)

2cos2 α 2 +2sin α 2 cos α 2

=

cosα-sinα

cos α 2 (cos α 2 +sin α 2 )

，
右邊=

cos2 α 2 -sin2 α 2

sin2 α 2 +cos2 α 2 +2sin α 2 cos α 2

-

2sin α 2 cos α 2

2cos2 α 2

=

cos α 2 -sin α 2

sin α 2 +cos α 2

-

sin α 2

cos α 2

=

cos2 α 2 -sin α 2 cos α 2 -sin2 α 2 -sin α 2 cos α 2

cos α 2 (sin α 2 +cos α 2 )

=

cosα-sinα

cos α 2 (cos α 2 +sin α 2 )

所以左邊=右邊，即原結論成立．

點評：本題考查平方關系、商的關系，二倍角公式，熟練掌握公式是解題的關鍵，考查化簡、變形能力．