已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線l：y=
3
(x+1)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為1，且|AB|=2．
（1）求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（2）求橢圓方程．
分析：（1）確定直線與x、y軸的交點(diǎn)，即為A，B兩點(diǎn)，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得橢圓方程．
解答：解：（1）設(shè)直線與x、y軸的交點(diǎn)分別為C，D，其坐標(biāo)為C（-1，0）、D（0，
3
）
由于M是AB的中點(diǎn)，則M在直線上，且其到原點(diǎn)的距離為1，以原點(diǎn)為中心做半徑為1的圓與直線相交于兩點(diǎn)，C（-1，0），E（-
1
2
，
3
2
），則E點(diǎn)即是M點(diǎn)（C點(diǎn)不滿足）
∴M（-
1
2
，
3
2
）；
（2）又由于AB長度為2，所以MA，MB長度為1，且MX，MY長度分別為1，所以A、B分別于C、D重合
設(shè)橢圓方程為
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0），則a=1，b=
3

∴橢圓方程為x2+
y2
3
=1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P，Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，則①
|PF|
|PD|
；②
|QF|
|BF|
；③
|AO|
|BO|
；④
|AF|
|AB|
；⑤
|FO|
|AO|
，其中比值為橢圓的離心率的有（　�。�
A、1個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
2
，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F2且垂直于長軸的弦長為
2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的左焦點(diǎn)F1作直線l，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若
F2P
•
F2Q
=2，求直線l的傾斜角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，長軸長為短軸長的3倍，且過點(diǎn)P（3，2），求此橢圓的方程；
（2）求與雙曲線
x2
5
-
y2
3
=1有公共漸近線，且焦距為8的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P，Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，則橢圓的離心率是①
|PF|
|PD|
；②
|QF|
|BF|
；③
|AO|
|BO|
；④
|AF|
|AB|
；⑤
|FO|
|AO|
，其中正確的是
①②③④⑤
①②③④⑤
．

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