Question

1．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=$\sqrt{3}$，△ABC是正三角形，P是棱A₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面B₁PC；
（Ⅱ）若C₁到平面B₁CP的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)B₁C，BC₁相交于O，由三角形中位線定理可得OP∥A₁B，然后利用線面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）設(shè)出△ABC的邊長為a，由已知結(jié)合等積法求得a，再由棱柱的體積公式得答案．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)B₁C，BC₁相交于O，
則O為BC₁的中點，又P是棱A₁C₁的中點，
∴OP∥A₁B，
OP?面B₁PC，A₁B?B₁PC，
∴A₁B∥平面B₁PC；
（Ⅱ）解：設(shè)△ABC的邊長為a，
則${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•a•\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
${S}_{△{B}_{1}P{C}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$．
${B}_{1}P=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，${B}_{1}C=\sqrt{{a}^{2}+3}$，$PC=\sqrt{3+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴${B}_{1}{P}^{2}+P{C}^{2}={B}_{1}{C}^{2}$，
則△B₁PC為直角三角形，
∴${S}_{△{B}_{1}PC}=\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{\sqrt{12+{a}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{3{a}^{2}+36}}{8}$．
∴$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3{a}^{2}+36}}{8}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}•\sqrt{3}$，解得：a=2．
∴棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\sqrt{3}=3$．

點評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，是中檔題．