Question

已知等比數(shù)列{a_n}中，a₂=32，a8=

1

2

，a_n+1＜a_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求T_n的最大值及相應(yīng)的n值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知第八項(xiàng)與第二項(xiàng)的比值等于公比的六次方，利用已知即可求出公比的值，然后根據(jù)第二項(xiàng)的值與求出公比的值求出首項(xiàng)，根據(jù)首項(xiàng)和公比寫出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，把第一問求出的通項(xiàng)公式代入即可得到b_n的通項(xiàng)公式，從而根據(jù)通項(xiàng)公式得到b_n為等差數(shù)列，根據(jù)首項(xiàng)和公差，根據(jù)等差數(shù)量的前n項(xiàng)和的公式得到T_n的通項(xiàng)，利用二次函數(shù)求最值的方法即可得到T_n的最大值及相應(yīng)的n值．

解答：解：（1）q6=

a8

a2

=

1 2

32

=

1

64

，a_n+1＜a_n，
所以：q=

1

2

．
以a1=

a2

q

=

32

1 2

=64為首項(xiàng)．
所以，通項(xiàng)公式為：an=64•(

1

2

)n-1=27-n(n∈N*)．
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，則b_n=log₂2^7-n=7-n．
所以{b_n}是首項(xiàng)為6，公差為-1的等差數(shù)列．
Tn=6n+

n(n-1)

2

(-1)=-

1

2

n2+

13

2

n=-

1

2

(n-

13

2

)2+

169

8

．
因?yàn)閚是自然數(shù)，所以n=6或n=7時(shí)，T_n最大，其最值是T₆=T₇=21

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式化簡求值，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)求最值的方法，是一道綜合題．