Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（-1+x）=f（-1-x），當0≤x≤1時，f（x）=1-x²，若直線y=-x+a與曲線y=f（x）恰有2個交點，則實數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合為（　�。�

• A、{a|a=2k+

  3

  4

  或2k+

  5

  4

  ，k∈Z}
• B、{a|a=2k-

  1

  4

  或2k+

  3

  4

  ，k∈Z}
• C、{a|a=2k+1或2k+

  5

  4

  ，k∈Z}
• D、{a|a=2k+1，k∈Z}

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意畫出函數(shù)f（x）的圖象，并在圖中畫出關(guān)鍵直線，再由條件轉(zhuǎn)化為求出相切時的切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，然后再把坐標代入切線方程求出a的值，

解答： 解：設(shè)-1≤x≤0時，則0≤-x≤1，∴f（-x）=1-（-x）²，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=1-x²，
∴當-1≤x≤1時，f（x）=1-x²，
∵f（-1+x）=f（-1-x），令x=x+1
∴f（x）=f（-1-x-1）=f（-x-2）=f（x+2）
∴f（x）為周期為2的周期函數(shù)，
由題意畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖：
其中圖中的直線l的方程為：y=-x+1，此時恰有兩個交點，
由圖得，當-1＜x≤1時，直線l向上平移過程中與曲線y=f（x）恰有3個交點，
直到相切時，設(shè)切點為p（x，y），則f′（x）=-2x，
∴-1=-2x，解得x=

1

2

，即y=f（

1

2

）=1-

1

4

=

3

4

，
∴p（

1

2

，

3

4

），代入切線y=-x+a，解得a=

5

4

，
∵f（x）的定義域為R，周期為2，
∴所求的a的集合是：{a|a=2k+1或2k+

5

4

，k∈Z}，
故選：C．

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)鍵正確作圖．