Question

設(shè)動點(diǎn)P（x，y）（y≥0）到定點(diǎn)F（0，1）的距離比它到x軸的距離大1，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)圓M過A（0，2），且圓心M在曲線C上，EG是圓M在x軸上截得的弦，試探究當(dāng)M運(yùn)動時(shí)，弦長|EG|是否為定值？為什么？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，P的軌跡滿足拋物線的定義，故可求出拋物線的焦點(diǎn)，繼而求出拋物線方程．
（Ⅱ）待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，設(shè)出圓與x軸的兩個(gè)焦點(diǎn)E，G的坐標(biāo)，再根據(jù)圓心在拋物線上，將圓心坐標(biāo)代入拋物線，兩個(gè)式子聯(lián)立可求出x₁-x₂是否為定值．

解答：解：（Ⅰ）依題意知，動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（0，1）的距離等于P到直線y=-1的距離，
曲線C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)（0，1）為焦點(diǎn)的拋物線
∵

p

2

=1
∴p=2
∴曲線C方程是x²=4y

（Ⅱ）設(shè)圓的圓心為M（a，b），
∵圓M過A（0，2），
∴圓的方程為 （x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²
令y=0得：x²-2ax+4b-4=0
設(shè)圓與x軸的兩交點(diǎn)分別為（x₁，0），（x₂，0）
不妨設(shè)x₁＞x₂，由求根公式得x1=

2a+ 4a2-16b+16

2

，
x2=

2a- 4a2-16b+16

2

∴x1-x2=

4a2-16b+16

又∵點(diǎn)M（a，b）在拋物線x²=4y上，
∴a²=4b，
∴x1-x2=

16

=4，
即|EG|=4
∴當(dāng)M運(yùn)動時(shí)，弦長|EG|為定值4

點(diǎn)評：本題考查圓與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，考查了圓的定義，拋物線的定義，以及點(diǎn)的軌跡方程的求法，屬于難題．