【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2-ln x,a∈R.

(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.

(2)討論f(x)的單調(diào)性.

(3)是否存在a,使得方程f(x)=2有兩個不等的實數(shù)根?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2)見解析;(3)

【解析】

(1)對函數(shù)求導得到f′(1)=0,f(1)=進而得到切線方程是一條平行于x軸的直線;(2)對函數(shù)求導,討論導函數(shù)的正負進而得到單調(diào)性;(3)(2)可知,當a≤0時,f′(x)<0,f(x)(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,方程f(x)=2不可能有兩個不等的實數(shù)根;當a>0時,才有可能,結合上一問得到的函數(shù)的單調(diào)性,使得函數(shù)的極小值小于0即可.

.

(1)a=1時,f′(x)=x-,∴f′(1)=0,f(1)=,

∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=.

(2)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=ax- (x>0).

①當a≤0時,f′(x)<0,f(x)(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.

②當a>0時,令f′(x)=0,解得x=

x∈時,f′(x)<0;當x∈時,f′(x)>0.

故函數(shù)f(x)內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.

(3)存在a∈(0,e3),使得方程f(x)=2有兩個不等的實數(shù)根.

理由如下:

(2)可知,當a≤0時,f′(x)<0,f(x)(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,

方程f(x)=2不可能有兩個不等的實數(shù)根;

a>0時,函數(shù)f(x)內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,

使得方程f(x)=2有兩個不等的實數(shù)根,

等價于函數(shù)f(x)的極小值f<2,即fln a<2,解得0<a<e3

∴a的取值范圍是(0,e3).

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學習雷鋒精神

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170

200

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