Question

18．已知f（x）=$\sqrt{2|x+1|+|2x-3|-m}$定義域為R．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m的最大值為n，當正數(shù)a，b滿足$\frac{1}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$=n時，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)定義域為R，可得|x+1}+|x-$\frac{3}{2}$|≥$\frac{1}{2}$m恒成立，利用絕對值幾何意義求出其最小值即可；
（2）由（1）知n=5，變形a+b=$\frac{1}{5}$[（3a+b）+2（a+2b）]×$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$），利用基本不等式的性質(zhì)即可得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{2|x+1|+|2x-3|-m}$定義域為R．
∴2|x+1}+|2x-3|-m≥0，
∴|x+1}+|x-$\frac{3}{2}$|≥$\frac{1}{2}$m，
根據(jù)絕對值的幾何意義，可得：
∴|x+1}+|x-$\frac{3}{2}$|≥[$\frac{3}{2}$-（-1）]=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{5}{2}$≥$\frac{1}{2}$m，
∴m≤5；
（2）由（1）知，n=5，
∴$\frac{1}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$=5，
∴a+b=$\frac{1}{5}$[（3a+b）+2（a+2b）]×$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{3a+b}$+$\frac{2}{a+2b}$）=$\frac{1}{25}$[1+$\frac{2（3a+b）}{a+2b}$+$\frac{2（a+2b）}{3a+b}$+4]≥$\frac{1}{25}$（5+2$\sqrt{\frac{2（3a+b）}{a+2b}•\frac{2（a+2b）}{3a+b}}$）=$\frac{9}{25}$，當且僅當當且僅當a+2b=3a+b，即b=2a=$\frac{6}{25}$時取等號．
∴a+b的最小值$\frac{9}{25}$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域、絕對值不等式的性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)、“乘1法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題