Question

已知線段AB的端點B的坐標為（1，2），端點A在圓C：（x+1）²+y²=4運動．
①求線段AB的中點M的軌跡方程．
②過B點的直線l與圓C有兩個交點E、D，當CE⊥CD時，求l的斜率．

Answer 1

分析：（1）設線段AB中點M（x，y），A（x₁，y₁），由題意知：

x= x1+1 2 y= y1+2 2

，故

x1=2x-1 y1=2y-2

，由點A在圓（x+1）²+y²=4上運動，能求出點M的軌跡方程．
（2）設直線l的斜率為k，則直線l的方程為：kx-y-k+2=0，圓C：（x+1）²+y²=4的圓心C（-1，0），半徑r=2，由CE⊥CD，知△CED為等腰直角三角形．由圓C的半徑為2，知點C到直線l的距離為

2

，由此能求出直線l的斜率．

解答：解：（1）設線段AB中點M（x，y），A（x₁，y₁），
由題意知：

x= x1+1 2 y= y1+2 2

，∴

x1=2x-1 y1=2y-2

，
∵點A在圓（x+1）²+y²=4上運動，
∴（2x-1+1）²+（2y-2）²=4，
整理，得x²+（y-1）²=1，
所以，點M的軌跡方程是：x²+（y-1）²=1．
（2）設直線l的斜率為k，則直線l的方程為：
y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，
圓C：（x+1）²+y²=4的圓心C（-1，0），半徑r=2，
∵CE⊥CD，
∴△CED為等腰直角三角形．
∵圓C的半徑為2，
∴點C到直線l的距離為

2

，
∴

|-k-0-k+2|

k2+1

=

2

，
解得k=2±

3

，
∴直線l的斜率為2+

3

或2-

3

．

點評：本題考查線段的中點的軌跡方程的求法，考查直線的斜率的求法，具體涉及到圓的簡單性質、點到直線的距離公式等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．