Question

函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（x）=

ax+b

1+x2

，f(1)=

1

2

，
（1）確定f（x）的解析式；  
（2）用定義法證明f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)，f（0）=0，解得b=0，再由f（1），可得a=1，進(jìn)而得到f（x）的解析式；
（2）運(yùn)用定義證明，注意作差、變形、定符號(hào)和下結(jié)論等步驟；
（3）運(yùn)用奇函數(shù)和單調(diào)性，不等式f（x-1）+f（x）＜0即為

-1≤x-1≤1 -1≤x≤1 x-1＜-x

，分別解出它們，即可得到．

解答： （1）解：由函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
則f（0）=0，即有b=0，
由f（1）=

1

2

，即

a

1+1

=

1

2

，解得a=1，
則有f（x）=

x

x2+1

；
（2）證明：設(shè)-1≤m＜n≤1，
則f（m）-f（n）=

m

m2+1

-

n

n2+1

=

(m-n)(1-mn)

(m2+1)(n2+1)

，
由m＜n，則m-n＜0，
由-1≤m＜n≤1，則mn＜1，即1-mn＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
則f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)；
（3）解：不等式f（x-1）+f（x）＜0，即為
f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
即有

-1≤x-1≤1 -1≤x≤1 x-1＜-x

，即

0≤x≤2 -1≤x≤1 x＜ 1 2

，
即有0≤x＜

1

2

．
則解集為[0，

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．