求經(jīng)過A(2,-1),和直線x+y=1相切,且圓心在直線y=-2x上的圓的方程.
(I)求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)求出(I)中的圓與直線3x+4y=0相交的弦長AB.
分析:(I)設(shè)出圓心C的坐標(biāo)為(a,-2a),利用圓經(jīng)過A(2,-1),和直線x+y=1相切,列出關(guān)于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,由a的值可確定出圓心坐標(biāo)及半徑,然后根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可.
(II)求出圓心C到直線3x+4y=0的距離d,再由弦長公式可得弦長為2
r2-d2
,即可得到結(jié)論.
解答:解:(I)因?yàn)閳A心C在直線y=-2x上,可設(shè)圓心為C(a,-2a).
則點(diǎn)C到直線x+y=1的距離d′=
|a-2a-1|
2
=
|a+1|
2

據(jù)題意,d′=|AC|,則
|a+1|
2
=(a-2)2+(-2a+1)2,
∴a2-2a+1=0
∴a=1.
∴圓心為C(1,-2),半徑r=d=2,
∴所求圓的方程是(x-1)2+( y+2)2=2 
 (II) 圓心(1,-2)到直線3x+4y=0的距離d=
|3-8|
5
=1
,半徑r=
2
,
故弦長為|AB|=2
r2-d2
=2,
點(diǎn)評:本題考查學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)所滿足的條件,考查點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間的距離公式,充分運(yùn)用圓的性質(zhì)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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