Question

5．下列命題：
①求函數(shù)y=sin（$\frac{π}{4}$-2x）的單調遞減區(qū)間[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）；
②終邊在坐標軸上的角的集合是{a|a=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}；
③若log_m3＜log_n3＜0，則0＜m＜n＜1；
④函數(shù)f（x）=2sinx-1-a上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是[$\sqrt{3}$-1，1]．
則所有錯誤命題的序號是③．

Answer 1

分析 直接求出函數(shù)的單調減區(qū)間判斷①；寫出終邊在坐標軸上的角的集合判斷②；由對數(shù)式的基本性質判斷③；由三角函數(shù)的單調性結合函數(shù)的零點判定判斷④．

解答 解：①∵y=sin（$\frac{π}{4}$-2x）=-sin（2x-$\frac{π}{4}$），由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得：$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+2kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)y=sin（$\frac{π}{4}$-2x）的單調遞減區(qū)間[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z），①正確；
②終邊在x軸上的角的集合為{a|a=kπ，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合為{a|a=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z}，
∴坐標軸上的角的集合是{a|a=kπ，k∈Z}∪{a|a=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z}={a|a=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z}，②正確；
③若log_m3＜log_n3＜0，則0＜n＜m＜1，③錯誤；
④∵當x$∈[\frac{π}{3}，π]$時，t=sinx在區(qū)間[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，
在區(qū)間[$\frac{π}{2}$，π]上為減函數(shù)，且sin$\frac{π}{3}$=sin$\frac{2π}{3}$
∴當x∈$[\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$且x≠$\frac{π}{2}$時，存在兩個自變量x對應同一個sinx
即當t∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]時，方程t=sinx有兩個零點
∵f（x）=2sinx-1-a在[$\frac{π}{3}，π$]上有兩個零點，即$\frac{1+a}{2}$=sinx在$[\frac{π}{3}，π]$上有兩個零點，
∴$\frac{1+a}{2}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，解之得a∈[$\sqrt{3}$-1，1]，④正確．
∴錯誤命題的序號是③．
故答案為：③．

點評 本題給出三角函數(shù)式，求滿足函數(shù)在指定區(qū)間上有兩個零點的參數(shù)a的取值范圍．著重考查了三角函數(shù)的單調性與函數(shù)的圖象與性質等知識，屬于中檔題．