Question

已知=（sinx，cosx），=（cosx，-cosx），x∈R，定義函數(shù)f（x）=•-
（1） 求函數(shù)．f（x）的最小正周期，值域，單調(diào)增區(qū)間．
（2） 設△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，且c=，f（C）=0，若=（1，sinA）與=（2，sinB）
共線，求a，b的值．

Answer 1

解：（1）由題意可知：f（x）=•-=sinxcosx-cos²x-
=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，
∴f（x）的最小正周期T=π，值域為[-2，0]，
令2kπ-≤2x-≤2kπ+，解得：kπ-≤x≤kπ+（k∈Z），
∴f（x）的增區(qū)間為：[kπ-，kπ+]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=sin（2x-）-1，又f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C-）-1=0，又C為△ABC的內(nèi)角，∴C=，
又=（1，sinA）與=（2，sinB）共線，∴sinB=2sinA，根據(jù)正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即3=a²+b²-ab②，
聯(lián)立①②，解得a=1，b=2．
分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則求出•，代入f（x）解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角差的正弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可求出f（x）的值域和單調(diào)增區(qū)間；
（2）由f（C）=0，代入f（x）的解析式中，根據(jù)C的范圍，即可得到C的度數(shù)，然后根據(jù)平面向量平行時滿足的條件以及正弦定理得到a與b的關系式，記作①，再根據(jù)余弦定理，由c和sinC的值表示出a與b的另一個關系式，記作②，聯(lián)立①②即可求出a與b的值．
點評：此題考查學生掌握平面向量的數(shù)量積得運算法則及兩向量平行時滿足的條件，靈活運用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡求值，靈活運用正弦、余弦定理化簡求值，是一道中檔題．