Question

20．過點(diǎn)P（2，1）的直線l與函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）$•\overrightarrow{OP}$=（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對稱，過點(diǎn)P（2，1）的直線l與函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對稱⇒$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，∴函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對稱，
∴過點(diǎn)P（2，1）的直線l與函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對稱，
∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}$，
則$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$，|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$，∴（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）$•\overrightarrow{OP}$=2×5=10．
故選：D

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的對稱性，及向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．