Question

（本小題滿分10分）如圖，在直三棱柱中，已知，，，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，．

（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的大��；

（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值．

Answer 1

（1）（2）．

【解析】

試題分析：（1）利用空間向量求異面直線所成角，關(guān)鍵明確各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量數(shù)量積求夾角：，又異面直線與所成角不為鈍角，所以異面直線與所成角為．（2）利用空間向量表示線面角，關(guān)鍵求出平面的法向量，再利用直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面法向量所成角余弦值的絕對(duì)值求解. 平面的法向量滿足，且．所以，，解得

試題解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

（1）因?yàn)锳B=AC=1，3，，

所以各點(diǎn)的坐標(biāo)為,，，．

，． 2分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806024772836448/SYS201506180602531035677402_DA/SYS201506180602531035677402_DA.023.png">,，

所以．所以向量和所成的角為，

所以異面直線與所成角為． 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806024772836448/SYS201506180602531035677402_DA/SYS201506180602531035677402_DA.028.png">，，所以．

設(shè)平面的法向量為，

則，且．

即，且．令，則．

所以是平面的一個(gè)法向量． 6分

又，則，

又因?yàn)橹本�與平面所成角的正弦值為，

所以，解得，． 10分

考點(diǎn)：利用空間向量求線線角、線面角