Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1和函數(shù)g(x)=

bx-1

a2x+2b

，
（1）若f（x）為偶函數(shù)，試判斷g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有兩個不等的實(shí)根x₁，x₂（x₁＜x₂），則
①試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上是否具有單調(diào)性，并說明理由；
②若方程f（x）=0的兩實(shí)根為x₃，x₄（x₃＜x₄），求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f（x）為偶函數(shù)，又為二次函數(shù)故b=0，a≠0，故可得出g（x）=

-1

a2x

用定義可判斷出其為奇函數(shù)；
（2）①由g(x)=

bx-1

a2x+2b

=x得有不等實(shí)根，整理后得一二次方程，故可得△＞0，其為一關(guān)于a，b的關(guān)系式，從中整理 得出對稱軸的范圍，知其不在區(qū)間（-1，1）上，故可證得函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上具有單調(diào)性．
②方程f（x）=0為一二次函數(shù)其兩實(shí)根為x₃，x₄（x₃＜x₄），若x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立，即x₁，x₂在兩根之間，可由根的分布的相關(guān)知識將這一關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式，解出a的范圍．

解答：解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），∴bx=0，∴b=0
∴g(x)=-

1

a2x

，∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)；（4分）
（2）①由g(x)=

bx-1

a2x+2b

=x得方程a²x²+bx+1=0（*）有不等實(shí)根
∴△=b²-4a²＞0及a≠0得|

b

2a

|＞1即-

b

2a

＜-1或-

b

2a

＞1（7分）
又f（x）的對稱軸x=-

b

2a

∉(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)（10分）
②x₁，x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0
∴bx₁=-a²x₁²-1，同理bx₂=-a²x₂²-1
∴f（x₁）=ax₁²+bx₁+1=ax₁²-a²x₁²=（a-a²）x₁²
同理f（x₂）=（a-a²）x₂²
要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0

即

a＞0 a-a2＜0

，∴a＞1
或

a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0

即

a＜0 a-a2＞0

，解集為φ
故a的取值范圍a＞1（16分）

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，對其奇偶性懷單調(diào)性，圖象的特征都有涉及，是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合性很強(qiáng)的題目．