Question

10．若二項式（$\frac{a}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中含有x²項，且a=${∫}_{-1}^{2}$|x|dx，則當(dāng)n取最小值時，展開式的各項系數(shù)之和為$\frac{27}{8}$．

Answer 1

分析 利用定積分求出a，結(jié)合二項式（$\frac{a}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展開式中含有x²項，可得n的最小值，再令x=1，即可得出結(jié)論．

解答 解：a=${∫}_{-1}^{2}$|x|dx=${∫}_{-1}^{0}$（-x）dx+${∫}_{0}^{2}$xdx=（-$\frac{1}{2}$x²）${|}_{-1}^{0}$+$\frac{1}{2}$x²${|}_{0}^{2}$=$\frac{5}{2}$，
二項式（$\frac{a}{x}-x\sqrt{x}$）ⁿ（n∈N^*）展開式的通項為T_r+1=${C}_{n}^{r}（\frac{5}{2}）^{n-r}•{x}^{\frac{5}{2}r-n}$，
由$\frac{5}{2}r$-n=2，可得n取最小值3，r=2，
∴展開式的各項系數(shù)之和為（a-1）³=$\frac{27}{8}$．
故答案為：$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查二項式定理的運用，考查定積分，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．