Question

6．設(shè)銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，若a=2，B=2A，則b的取值范圍為（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由題意可得0＜2A＜$\frac{π}{2}$，且$\frac{π}{2}$＜3A＜π，解得A的范圍，可得cosA的范圍，由正弦定理求得$\frac{a}$=b=2cosA，根據(jù)cosA的范圍確定出b范圍即可．

解答 解：銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，B=2A，
∴0＜2A＜$\frac{π}{2}$，且B+A=3A，
∴$\frac{π}{2}$＜3A＜π．
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵a=2，B=2A，
∴由正弦定理可得：$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$b=$\frac{sin2A}{sinA}$=2cosA，即b=4cosA，
∴2$\sqrt{2}$＜4cosA＜2$\sqrt{3}$，
則b的取值范圍為：（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．
故答案為：（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．

點評 此題考查了正弦定理，余弦函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定出A的范圍，屬于基本知識的考查．