Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
（1）若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（2-x）恒成立，且a＞0，求使不等式f（m-1）＞f（2m+3）成立的m的取值范圍；
（2）已知函數(shù)g（x）=-x²-3，且f（x）+g（x）為奇函數(shù)．若當x∈[-1，2]時，f（x）的最小值為1，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=f（2-x）恒成立，可得函數(shù)圖象的對稱軸為x=1，由a＞0可得函數(shù)圖象的開口方向朝上，故可將不等式f（m-1）＞f（2m+3）轉化為|（m-1）-1|＞|（2m+3）-1|，兩邊平方后化為整式不等式可得m的取值范圍；
（2）求出f（x）+g（x）的表達式，利用奇函數(shù)的定義可得a，c的值，利用二次函數(shù)的最值列不等式，從而求出系數(shù)即可．

解答：解：（1）若f（x）=f（2-x）恒成立
即函數(shù)圖象的對稱軸為x=1
又∵a＞0，即函數(shù)圖象的開口方向朝上
故不等式f（m-1）＞f（2m+3）可化為
|（m-1）-1|＞|（2m+3）-1|
即|m-2|＞|2m+2|
兩邊平方后整理得m²+4m＜0
解得-4＜m＜0
即使不等式f（m-1）＞f（2m+3）成立的m的取值范圍為（-4，0）
（2）∵函數(shù)g（x）=-x²-3，
∴f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+（c-3）
若f（x）+g（x）為奇函數(shù)
則f（-x）+g（-x）=-[f（x）+g（x）]
即（a-1）x²-bx+（c-3）=-[（a-1）x²+bx+（c-3）]
解得a=1，c=3
此時f（x）=x²+bx+3=（x+

b

2

）²+3-

b2

4

∵當x∈[=-1，2]時f（x）的最小值為1
∴

- b 2 ＜-1 f(-1)=1-b+3=1

…①，或

-1≤- b 2 ≤2 3- b2 4 =1

…②，或

- b 2 ＞2 f(2)=4+2b+3=1

…③
解①得b=3，解②得b=-2

2

，③無解
∴f（x）=x²+3x+3或f（x）=x²-2

2

x+3

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解答的關鍵．