Question

14．已知在△ABC中，求證：$\frac{cos2A}{{a}^{2}}$-$\frac{cos2B}{^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{^{2}}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理列出關(guān)系式，已知等式左邊兩分子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后將得出的關(guān)系式代入計算得到結(jié)果與右邊相等，得證．

解答 證明：∵由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，即$\frac{si{n}^{2}B}{^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A}{{a}^{2}}$，
∴已知等式左邊=$\frac{1-2si{n}^{2}A}{{a}^{2}}$-$\frac{1-2si{n}^{2}B}{^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{^{2}}$+$\frac{2si{n}^{2}B}{^{2}}$-$\frac{2si{n}^{2}A}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{^{2}}$+2（$\frac{si{n}^{2}B}{^{2}}$-$\frac{si{n}^{2}A}{{a}^{2}}$）=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{^{2}}$=右邊，
則$\frac{cos2A}{{a}^{2}}$-$\frac{cos2B}{^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{^{2}}$．

點(diǎn)評 此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的余弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．