Question

12．函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$（ax²-x+2）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的范圍為（-1，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 利用換元法，結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：設(shè)t=g（x）=ax²-x+2，
則y=${log}_{\frac{1}{3}}$t在定義域上為減函數(shù)，
若函數(shù)f（x）=${log}_{\frac{1}{3}}$（ax²-x+2）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
則t=g（x）=ax²-x+2，在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，且g（1）＞0，
若a=0，則g（x）=-x+2為減函數(shù)，g（1）=2-1=1＞0，滿足條件．
若a＞0，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}≥1}\\{a-1+2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{1}{2}}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，解0＜a≤$\frac{1}{2}$．
若a＜0，則滿足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{-1}{2a}=\frac{1}{2a}＜0}\\{a-1+2＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a＞-1}\end{array}\right.$，解得-1＜a＜0．
綜上-1＜a≤$\frac{1}{2}$．
故答案為：（-1，$\frac{1}{2}$]

點評 本題主要考查復合函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合對數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．