【題目】已知.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí), 證明對(duì)于任意的成立.

【答案】（1）當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減, 在單調(diào)遞增；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)分類分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)，令，．則

，利用導(dǎo)數(shù)分別求與的最小值得到恒成立．由此可得對(duì)于任意的成立．

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>,當(dāng)時(shí), 時(shí), 單調(diào)遞增, 時(shí), 單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí),.

①時(shí),, 當(dāng)或時(shí), 單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減.

②時(shí),, 在內(nèi), 單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí),, 當(dāng)或時(shí), 單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減.

綜上所述, 當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 在內(nèi)單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 在單調(diào)遞增.

（2）證明: 由（1）知時(shí),

,

設(shè),則,

由,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào), 又,

設(shè),則在單調(diào)遞減, 因?yàn)?/span>,

使得時(shí), 時(shí), 在內(nèi)單調(diào)遞增, 在內(nèi)單調(diào)遞減, 由,可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào), 所以,即對(duì)于任意的成立.

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A. 120名學(xué)生 B. 1 200名學(xué)生

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