Question

18．設(shè)a_n為下述正整數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為n，且每位數(shù)字只能取1，3或4．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）對?n∈N^*，試探究a_2n•a_2n+2與a²_2n+1的大小關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）n=1，則N=1，可得a₁=1；同理可得a₂=1；a₃=2；a₄=4；
（2）由（1）猜想：a_2n•a_2n+2=a²_2n+1；記$N=\overline{{x_1}{x_2}…{x_k}}$，其中x₁，x₂，…，x_k∈{1，3，4}且x₁+x₂+…+x_k=n．假定n＞4，刪去x₁，則當(dāng)x₁依次取1，3，4時，x₂+x₃+…+x_k分別等于n-1，n-3，n-4．故當(dāng)n＞4時，a_n=a_n-1+a_n-3+a_n-4． 先用數(shù)學(xué)歸納法證明下式成立：a_2n+1=a_2n+a_2n-1，再用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法證明下式成立：a_2n•a_2n+2=a²_2n+1即可．

解答 解：（1）n=1，則N=1，∴a₁=1；
n=2，則N=11，∴a₂=1；
n=3，則N=111或N=3，∴a₃=2；
n=4，則N=1111，N=13，N=31，N=4，∴a₄=4；
綜上：a₁=1，a₂=1，a₃=2，a₄=4．
（2）由（1）猜想：a_2n•a_2n+2=a²_2n+1；
記$N=\overline{{x_1}{x_2}…{x_k}}$，其中x₁，x₂，…，x_k∈{1，3，4}且x₁+x₂+…+x_k=n．
假定n＞4，刪去x₁，則當(dāng)x₁依次取1，3，4時，x₂+x₃+…+x_k分別等于n-1，n-3，n-4．
故當(dāng)n＞4時，a_n=a_n-1+a_n-3+a_n-4． 
先用數(shù)學(xué)歸納法證明下式成立：a_2n+1=a_2n+a_2n-1
①n=1時，由（1）得：a₃=a₁+a₂，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時，a_2k+1=a_2k+a_2k-1；
當(dāng)n=k+1時，a_2k+3=a_2k+2+a_2k+a_2k-1=a_2k+2+a_2k+（a_2k+1-a_2k）=a_2k+2+a_2k+1
∴n=k+1時，結(jié)論成立；
綜合①②，a_2n+1=a_2n+a_2n-1，n∈N*． 
再用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)歸納法證明下式成立：a_2n•a_2n+2=a²_2n+1；
①n=1時，由（1）得：${a_2}{a_4}={a_3}^2$，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時，a_2k•a_2k+2=${a}_{2k+1}^{2}$；
當(dāng)n=k+1時，a_2k+2•a_2k+4=a_2k+2•（a_2k+3+a_2k+1+a_2k）=a_2k+2a_2k+3+a_2k+2a_2k+1+${a}_{2k+1}^{2}$=a_2k+2a_2k+3+a_2k+1（a_2k+2+a_2k+1）
=a_2k+2a_2k+3+a_2k+1a_2k+3=a_2k+3（a_2k+2+a_2k+1）=${a}_{2k+3}^{2}$．
∴n=k+1時，結(jié)論成立；
綜合①②，a_2n•a_2n+2=a²_2n+1，n∈N^*．

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，考查了猜想歸納推理計算能力及其分析問題與解決問題的能力，屬于難題．