在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓為

（1）若一直線與橢圓交于兩不同點(diǎn)，且線段恰以點(diǎn)為中點(diǎn)，求直線的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)的直線（非軸）與橢圓相交于兩個(gè)不同點(diǎn)試問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn)，使恒為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

【答案】

（1）；（2）在軸上存在定點(diǎn)，使恒為定值。

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系綜合運(yùn)用。

（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有公共點(diǎn)

再利用點(diǎn)差法得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系式，

（2）假定存在定點(diǎn)，使恒為定值

由于直線不可能為軸

于是可設(shè)直線的方程為且設(shè)點(diǎn)

將代入得到一元二次方程，進(jìn)而利用向量的關(guān)系得到參數(shù)的值。

解：（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，直線與橢圓必有公共點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)，由已知，則有

兩式相減，得

而直線的斜率為

直線的方程為

（2） 假定存在定點(diǎn)，使恒為定值

由于直線不可能為軸

于是可設(shè)直線的方程為且設(shè)點(diǎn)

將代入得

.

顯然

，

則

若存在定點(diǎn)使為定值（與值無(wú)關(guān)），則必有

在軸上存在定點(diǎn)，使恒為定值

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：pcos(θ-
π3
)=1，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)，則MN的中點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 
．

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在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(
π
2
，
3π
2
)，且|
AC
|=|
BC
|．
（1）求角θ的值；
（2）設(shè)α＞0，0＜β＜
π
2
，且α+β=
2
3
θ，求y=2-sin2α-cos2β的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱(chēng)點(diǎn)（x，y）為整點(diǎn)，下列命題中正確的是
 
（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）．
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
②如果k與b都是無(wú)理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
③直線l經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線y=kx+b經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)（1，0）為圓心，r為半徑作圓，依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點(diǎn)，若AC與BD的交點(diǎn)F恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則r=
 
．

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