Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-4cos²ωx+3（0＜ω＜2），且y=f（x）的圖象的一條對稱軸為x=$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值并求f（x）的最小值；
（2）△ABC中，a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且a=1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，f（A）=2，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用二倍角余弦公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數(shù)的對稱軸方程和最值，求得ω的值并求f（x）的最小值；
（2）由f（A）=2，求得A；再由三角形的余弦定理和面積公式，求得b，c的關(guān)系，即可得到所求三角形的周長．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-4cos²ωx+3（0＜ω＜2）
=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx）-2（1+cos2ωx）+3
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+1=1+2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由y=f（x）的圖象的一條對稱軸為x=$\frac{π}{6}$，
可得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ω=3k+1，k∈Z，
由0＜ω＜2，可得ω=1；
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值1-2=-1；
（2）由f（A）=1+2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，
可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
由A為三角形的內(nèi)角，可得2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
即有2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
由a=1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即為bc=1，①
由a²=b²+c²-2bccosA，
即為b²+c²=2②
可得b+c=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}+2bc}$=$\sqrt{2+2}$=2，
則△ABC的周長為a+b+c=3．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)，考查解三角形的余弦定理和面積公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．