Question

5．若x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$，則z=$\frac{1}{2}$x+y的最小值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=2}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．
化目標(biāo)函數(shù)z=$\frac{1}{2}$x+y為y=$-\frac{1}{2}x+z$，
由圖可知，當(dāng)直線y=$-\frac{1}{2}x+z$過(guò)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．