Question

在直角坐標系xOy中，已知點P（

1

2

，1），直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t為參數(shù)）若以O為極點，以Ox為極軸，選擇相同的單位長度建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為ρ=

2

cos（θ-

π

4

）
（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，求點P到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

考點：直線的參數(shù)方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（I）由直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

，由y=1+

1

2

t可得t=2（y-1）代入x=

1

2

+

3

2

t消去參數(shù)t即可得出；由曲線C的極坐標方程ρ=

2

cos（θ-

π

4

）展開為ρ=

2

(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)，化為ρ²=ρcosθ+ρsinθ，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出曲線C的直角坐標方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入圓的方程可得t2+

1

2

t-

1

4

=0，由于點P（

1

2

，1）在直線l上，可得|PA||PB|=|t₁t₂|．

解答： 解：（I）由直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

，消去參數(shù)t，可得x-

3

y-

1

2

+

3

=0；
由曲線C的極坐標方程ρ=

2

cos（θ-

π

4

）展開為ρ=

2

(

2

2

cosθ+

2

2

sinθ)，
化為ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標方程為x²+y²=x+y，即(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．
（II）把直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入圓的方程可得t2+

1

2

t-

1

4

=0，
∵點P（

1

2

，1）在直線l上，∴|PA||PB|=|t₁t₂|=

1

4

．

點評：本題考查了把參數(shù)方程極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．