【題目】已知函數(shù)

(I)時,求過點(01)且和曲線相切的直線方程;

(2)若函數(shù)上有兩個不同的零點,求實致的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)討論點是否是切點,是切點時,求出在該點的導函數(shù)就是切線的斜率,再運用直線的點斜式得切線方程;

不是切點時,設切點坐標,建立方程求出切點坐標,再求出切線方程;

(2)方法一:將整理成,對求導,討論其零點的個數(shù),就是函數(shù)的零點的個數(shù),注意當最小值小于零時,需對取得最小值的點的左右兩側的函數(shù)判斷是否有零點的存在,可求出特殊點的函數(shù)值判斷其正負,根據(jù)零點存在定理判斷零點的存在;

方法二:由可得a實行參變分離方法,構造新函數(shù),對其求導研究此函數(shù)的單調(diào)性和最值,要使函數(shù)上有兩個不同的零點,即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點,可得解.

(1)當時,,

當點為切點時,所求直線的斜率為,則過點且和曲線相切的直線方程為

當點不是切點時,設切點坐標為

則所求直線的斜率為,所以,①易知

由①②可得

所以當時,時,,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以有唯一的零點

因為,所以方程的根為,即切點坐標為,

故所求切線的斜率為,則過點且和曲線相切的直線方程為.

綜上,所求直線的方程為.

(2)解法一:

因為,所以函數(shù)的零點就是函數(shù)的零點,

時,沒有零點,所以沒有零點.

時,,當時,時,

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

是函數(shù)上的最小值.

上沒有零點,即上沒有零點;

上只有一個零點,即即上只有一個零點;

,即上有一個零點,所以上有一個零點;

對任意的,都有,即,所以,即,令,則,所以

上有一個零點,

因此上有兩個不同的零點,即上有兩個不同的零點.

綜上,若函數(shù)上有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是.

解法二:由可得

則函數(shù)上有兩個不同的零點,即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點,

時,時,,所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以上的最大值為

因為,并且當時,

所以當時,上的圖象與直線有兩個不同的交點,

即當時,函數(shù)上有兩個不同的零點.

所以,若函數(shù)上有兩個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是.

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