Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x²-a|在區(qū)間[-1，1]上的最大值為M（a），則M（a）_min=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進(jìn)行，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性及a的正負(fù)及$\sqrt{a}$與1的大小分類(lèi)討論求解M（a）．

解答 解：由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進(jìn)行；
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x²-a，函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，M（a）=f（1）=1-a≥1．
②當(dāng) 1＞a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，$\sqrt{a}$]上單調(diào)遞減，在[$\sqrt{a}$，1]上單調(diào)遞增，
所以f（x）在[0，$\sqrt{a}$]內(nèi)的最大值為M（a）=f（0）=a，
而f（x）在[$\sqrt{a}$，1]上的最大值為M（a）=f（1）=1-a．
由f（1）＞f（0）得1-a＞a，即0＜a＜$\frac{1}{2}$．
故當(dāng)a∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，M（a）=f（1）=1-a＞$\frac{1}{2}$，
同理，當(dāng)a∈[$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，M（a）=f（0）=a≥$\frac{1}{2}$．
③當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，所以M（a）=f（0）=a≥1．
綜上，M（a）=1-a，（當(dāng)a＜$\frac{1}{2}$時(shí)）； M（a）=a，（當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)）．
所以M（a）在[0，$\frac{1}{2}$]上為減函數(shù)，且在[$\frac{1}{2}$，1]為增函數(shù)，易得M（a）的最小值為M（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其實(shí)由分析可得M（a）=f（0）或f（1），所以可直接通過(guò)比較f（0）與f（1）的大小得出M（a）的解析式從而求解．